Question

8．如图所示的多面体中，面ABCD是边长为2的正方形，平面PDCQ⊥平面ABCD，PD⊥DC，E，F，G分别为棱BC，AD，PA的中点．
（Ⅰ）求证：EG∥平面PDCQ；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点H，连接GH，HC，通过证明EG∥HC．然后证明EG∥平面PDCQ．
（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD=a，求出相关点的坐标，求出平面ABCD的一个法向量，平面PFB的一个法向量，求出|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|，推出PD，然后求解几何体的体积．

解答 （本小题共14分）
证明：（Ⅰ）取PD中点H，连接GH，HC，
因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，AD=BC．
因为G，H分别是PA，PD中点，所以GH∥AD，$GH=\frac{1}{2}AD$．
又因为EC∥AD且$EC=\frac{1}{2}AD$，
所以GH∥EC，GH=EC，
所以四边形GHCE是平行四边形，…．（3分）
所以EG∥HC．
又因为EG?平面PDCQ，HC?平面PDCQ
所以EG∥平面PDCQ． …．（5分）
解：（Ⅱ）因为平面PDCQ⊥平面ABCD，
平面PDCQ∩平面ABCD=CD，PD⊥DC，PD?平面PDCQ，
所以PD⊥平面ABCD． …．（6分）
如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
设PD=a，则 P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）．…（7分）
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．…．（8分）
设平面PFB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），

$\overrightarrow{PF}$=（1，0，-a），$\overrightarrow{FB}$=（1，2，0）
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$
即$\left\{{\begin{array}{l}{x-az=0}\\{x+2y=0}\end{array}}\right.$
令x=1，得$z=\frac{1}{a}，y=-\frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）  …．（10分）

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
所以得|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{|\frac{1}{a}|}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，…．（11分）
解得a=2，所以PD=2． …．（13分）
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以其体积为${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×2×4=\frac{8}{3}$． …．（14分）

点评 本题考查空间向量求解二面角的平面角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断．考查空间想象能力以及计算能力．