Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$asinωx-acosωx（a＞0，ω＞0）的图象上的一个最高点和相邻的一个最低点坐标分别为$（\frac{π}{6}，2），（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求a、ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边$（a＜b），且f（A-\frac{π}{6}）=1，求\frac{b-2c}{{asin（\frac{π}{6}-C）}}$．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，由最值求出a的值，由周期求出ω，可得f（x）的解析式．
（2）由f（$\frac{π}{6}$-A）=1求得sin（2A-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，再根据a＜b求得A必定为锐角，求得A的值．再利用正弦定理的应用以及三角恒等变换，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$asinωx-acosωx=2a（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx）=2asin（ωx-$\frac{π}{6}$）的图象上的一个最高点和相邻的一个最低点坐标分别为$（\frac{π}{6}，2），（\frac{2π}{3}，-2）$，
∴2a=2，a=1；$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），∵f（A-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2A-$\frac{π}{2}$）=1，
∴sin（2A-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
由a＜b可得A必定为锐角，∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{b-2c}{asin（\frac{π}{6}-C）}$=$\frac{sinB-2sinC}{sinA•sin（\frac{π}{6}-C）}$=$\frac{sin（\frac{2π}{3}-C）-2sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}sin（\frac{π}{6}-C）}$=$\frac{\sqrt{3}sin（\frac{π}{6}-C）}{\frac{\sqrt{3}}{2}sin（\frac{π}{6}-C）}$=2．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由最值求出a的值，由周期求出ω，正弦函数的图象，正弦定理的应用以及三角恒等变换，属于中档题．