Question

1．若椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m^2}=1（m＞0）$的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=1或2．

Answer 1

分析 由等轴双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，即有椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，讨论椭圆的焦点的位置，结合离心率公式，解方程可得m的值．

解答 解：等轴双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
即有椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
若椭圆的焦点在x轴上，则a²=2，b²=m²，c²=2-m²，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2-{m}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得m=1；
若椭圆的焦点在y轴上，则b²=2，a²=m²，c²=m²-2，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得m=2．
综上可得m=1或2．
故答案为：1或2．

点评 本题考查椭圆和双曲线的性质，主要考查离心率的运用，以及椭圆的焦点的确定，考查运算能力，属于基础题和易错题．