Question

已知非负实数a、b、c满足a+b+c=1，则a²+b²+c²+18abc的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于非负实数a、b、c满足a+b+c=1，由对称性可设a≥b≥c≥0，得到a≥

1

3

．把b+c=1-a代入a²+b²+c²+18abc=2a²-2a+1+2bc（9a-1）≥2a²-2a+1，再利用二次函数的性质即可得出．

解答： 解：∵非负实数a、b、c满足a+b+c=1，
由对称性可设a≥b≥c≥0，∴a≥

1

3

．
故a²+b²+c²+18abc=a²+（1-a）²-2bc+18abc=2a²-2a+1+2bc（9a-1）
≥2a²-2a+1=2(a-

1

2

)2+

1

2

≥

1

2

，当且仅当a=b=

1

2

，c=0时取等号．
因此a²+b²+c²+18abc的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了利用“消元思想”和二次函数的性质、不等式的性质，考查了推理能力和灵活的转化思想方法，属于难题．