Question

已知直线x=t交抛物线y²=4x于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得AC⊥BC，则t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件知A，B两点关于x轴对称，设点A（t，-2

t

），点B（t，2

t

），点C为（c，2

c

），再由AC⊥BC，知k_AC•k_BC=-1，由此能求出t的取值范围．

解答： 解：∵y²=4x＞0，直线x=t交抛物线y²=4x于A，B两点，
∴y²=4x=4t＞0，
∴A，B两点关于x轴对称，
设点A（t，-2

t

），点B（t，2

t

），点C为（c，2

c

），c≠t
则kAC=

2( c + t )

c-t

，kBC=

2( c - t )

c-t

，
∵AC⊥BC，
∴k_AC•k_BC=-1，
即

2( c + t )

c-t

•

2( c - t )

c-t

=

4

c-t

=-1，
∴t=4+c，
∵c≥0，∴t≥4，
∴t的取值范围为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．

点评：本题考查参数t的取值范围的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质，要注意直线垂直的条件的合理运用．