Question

18．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，PA=PD，且∠APD=90°，∠DAB=60°．
（I）若线段PC上存在一点M，使得直线PA∥平面MBD，试确定M点的位置，并给出证明；
（II）在第（I）问的条件下，求三棱锥C-DMB的体积．

Answer 1

分析 （I）取线段PC的中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于点O，连接OM，由三角形中位线定理可得OM∥PA，再由线面平行的判定可得PA∥平面MBD；
（II）由PA=PD，取AD中点N，可得PN⊥AD，由面面垂直的性质可得PN⊥平面ABCD，求出M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}$，然后利用等积法求得三棱锥C-DMB的体积．

解答 （I）当M为线段PC的中点时，直线PA∥平面MBD．
证明：取线段PC的中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于点O，连接OM，
∵ABCD是菱形，∴O为AC的中点，又M为PC的中点，
∴OM∥PA，
∵OM?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（II）∵PA=PD，取AD中点N，∴PN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵∠APD=90°，AD=2，PN=$\frac{1}{2}AD=1$，
又M为PC的中点，∴M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}$．
∵ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{C-DMB}={V}_{M-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．