Question

3．已知关于x的不等式x²-4ax+3a²＜0（a＜0）的解集为（x₁，x₂），则${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据不等式x²-4ax+3a²＜0（a＜0）的解集为（x₁，x₂），利用韦达定理求出${x}_{1}{x}_{2}=3{a}^{2}$，x₁+x₂=4a，带入利用基本不等式的性质求解．

解答 解：不等式x²-4ax+3a²＜0（a＜0）的解集为（x₁，x₂），
根据韦达定理，可得：${x}_{1}{x}_{2}=3{a}^{2}$，x₁+x₂=4a，
那么：${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$=4a+$\frac{1}{3a}$．
∵a＜0，
∴-（4a+$\frac{1}{3a}$）≥2$\sqrt{4a×\frac{1}{3a}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即4a+$\frac{1}{3a}$≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
故${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最大值为$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式的性质的运用的能力和计算能力，属于中档题．