题目内容
16．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），两个焦点分别是F1，F2，离心率e=$\sqrt{3}$，且焦点到渐近线的距离是$\sqrt{2}$，则双曲线的标准方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．分析 运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b，c的关系，得到a，进而得到双曲线的方程．
解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e=$\sqrt{3}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$a，
设焦点为（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{2}$，
又b2=c2-a2=2，c=$\sqrt{3}$a，
解得a2=1．
∴双曲线的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
6．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，若△PF1F2的内切圆半径r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$，则椭圆C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |