Question

19．下列判断正确的是④．（填写所有正确的序号）
①若sinx+siny=$\frac{1}{3}$，则siny-cos²x的最大值为$\frac{4}{3}$；
②函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的单调增区间是[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z；
③函数f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$是奇函数；
④函数y=tan$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{sinx}$的最小正周期是π．

Answer 1

分析 由siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]，解得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1，将所给函数式化为sinx的二次函数，求得最大值，
即可判断①；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解不等式即可得到所求增区间，可判断②；
由1+sinx+cosx≠0，运用两角和的正弦公式和正弦函数的图象，可得x的范围，即可判断③；
运用二倍角正弦、余弦公式，化简整理，可得y=-$\frac{1}{tanx}$，即可得到周期，即可判断④．

解答 解：①若sinx+siny=$\frac{1}{3}$，可得siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]，
解得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1，则siny-cos²x=$\frac{1}{3}$-sinx-（1-sin²x）=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{12}$，
当sinx=-$\frac{2}{3}$时，取得最大值为$\frac{4}{9}$，故①错；
②由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的单调增区间是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z，故②错；
③函数f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$，可得1+sinx+cosx≠0，即为$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≠-1，
即有x+$\frac{π}{4}$≠2kπ+$\frac{5π}{4}$且x+$\frac{π}{4}$≠2kπ+$\frac{7π}{4}$，即为x≠2kπ+π且x≠2kπ+$\frac{3π}{2}$，
则定义域不关于原点对称，f（x）为非奇非偶函数，故③错；
④y=tan$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{sinx}$=$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}-1}{sinx}$=-$\frac{cosx}{sinx}$=-$\frac{1}{tanx}$，∴T=π．故④对．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断，主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的单调性、奇偶性和周期性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．