Question

11．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+1=$\frac{1}{2}$a₂S_n+a₁，S₃=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n-1，求$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （I）S_n+1=$\frac{1}{2}$a₂S_n+a₁，S₃=14．可得n=1时，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{a}_{1}$+a₁，a₂＞0，解得a₁．n=2时，2+a₂+a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}（2+{a}_{2}）$+2=14，解得a₂，可得S_n+1=2S_n+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=a_n-1=2ⁿ-1，可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+1=$\frac{1}{2}$a₂S_n+a₁，S₃=14．∴n=1时，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{a}_{1}$+a₁，a₂＞0，解得a₁=2．
n=2时，2+a₂+a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}（2+{a}_{2}）$+2=14，解得a₂=4，
∴S_n+1=2S_n+2，
n≥2时，S_n=2S_n-1+2，可得：a_n+1=2a_n（n=1时也成立）．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2，
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=a_n-1=2ⁿ-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．