Question

19．如图，已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，P为椭圆E上的动点，P到点M（0，2）的距离的最大值为$\frac{2}{3}\sqrt{21}$，直线l交椭圆于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若以P为圆心的圆的半径为$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，且圆P与OA、OB相切．
（i）是否存在常数λ，使x₁x₂+λy₁y₂=0恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由；
（ii）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，可得a=2b，$c=\sqrt{3}b$．可得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=b²．设P（x，y），（-b≤y≤b）．P到点M（0，2）的距离d=$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{16}{3}-3（y+\frac{2}{3}）^{2}}$．当0＜b＜$\frac{2}{3}$时，y=-b时，d取得最大值，舍去．
当$\frac{2}{3}$≤b时，y=-$\frac{2}{3}$时，d取得最大值，可得$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{21}$，解得b即可得出．
（2）（i）设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}$=1．⊙P的方程为：（x-m）²+（y-n）²=$\frac{4}{5}$，设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k₁x，OB的方程为：y=k₂x．则$\frac{|km-n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，化为：（5m²-4）k²-10mnk+5n²-4=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x₁，y₁．同理可得：x₂，y₂．假设存在常数λ，使x₁x₂+λy₁y₂=0恒成立，代入即可得出．
（ii）由（i）可得：OA⊥OB，|OA|²=${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}$=4，|OA|=2，同理可得：|OB|=2．即可得出S_△OAB=$\frac{1}{2}|OA|•|OB|$．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，可得a=2b，$c=\sqrt{3}b$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=b²，
设P（x，y），（-b≤y≤b）．
P到点M（0，2）的距离d=$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{4（{b}^{2}-{y}^{2}）+（{y}^{2}-4y+4）}$=$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{16}{3}-3（y+\frac{2}{3}）^{2}}$，
当0＜b＜$\frac{2}{3}$时，y=-b时，d取得最大值，∴b+2=$\frac{2}{3}\sqrt{21}$，解得b=$\frac{2}{3}\sqrt{21}$-2$＞\frac{2}{3}$，舍去．
当$\frac{2}{3}$≤b时，y=-$\frac{2}{3}$时，d取得最大值，∴$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{21}$，解得b=1，满足条件．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）（i）设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}$=1．
⊙P的方程为：（x-m）²+（y-n）²=$\frac{4}{5}$，
设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k₁x，OB的方程为：y=k₂x．
则$\frac{|km-n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，化为：（5m²-4）k²-10mnk+5n²-4=0，
∴k₁+k₂=$\frac{10mn}{5{m}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{5{n}^{2}-4}{5{m}^{2}-4}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$，y₁=$\frac{2{k}_{1}}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$．
同理可得：${x}_{2}=\frac{-2}{\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}}$，y₂=$\frac{-2{k}_{2}}{\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}}$．
假设存在常数λ，使x₁x₂+λy₁y₂=0恒成立，则$\frac{-4}{\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）（1+{k}_{2}^{2}）}}$+$\frac{-4λ{k}_{1}{k}_{2}}{\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）（1+{k}_{2}^{2}）}}$=0，
解得λ=-k₁k₂=-$\frac{5{n}^{2}-4}{5{m}^{2}-4}$=-$\frac{5（1-\frac{{m}^{2}}{4}）-4}{5{m}^{2}-4}$=$\frac{1}{4}$为常数．
（ii）由（i）可得：OA⊥OB，|OA|²=${x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}$=$\frac{4}{1+{k}_{1}^{2}}+\frac{4{k}_{1}^{2}}{1+{k}_{1}^{2}}$=4，∴|OA|=2，
同理可得：|OB|=2．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|OA|•|OB|$=2．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．