Question

1．已知F是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=-c，x=0，可得M，E的坐标，再由直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，可得N的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：由题意可设F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），
令x=-c，代入椭圆方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得P（-c，±$\frac{{b}^{2}}{a}$），
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），
∵直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，
∴N（0，$\frac{ka}{3}$），
由B，N，M三点共线，可得k_BN=k_BM，
即为$\frac{\frac{ka}{3}}{-a}$=$\frac{k（a-c）}{-c-a}$，
化简可得$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{3}$，即为a=2c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．