Question

18．已知圆心为O，半径为1的圆上有三点A、B、C，若7$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+8$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将向量的等式移项后，平方再由向量的数量积的定义可得∠BOC=120°，再由余弦定理可得|BC|．

解答 解：7$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+8$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得7$\overrightarrow{OA}$=-（5$\overrightarrow{OB}$+8$\overrightarrow{OC}$），
两边平方可得，49=25+64+2×5×8$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
解得$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$，
由$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos∠BOC=cos∠BOC=-$\frac{1}{2}$，
即有|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的运算和性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．