Question

9．若x．y均为正实数，且x+2y=4，则$\frac{{x}^{2}}{x+2}$+$\frac{2{y}^{2}}{y+1}$的最小值是2．

Answer 1

分析 令x+2=m，y+1=n，整体换元由基本不等式可得．

解答 解：令x+2=m，y+1=n，则x=m-2，y=n-1，
∵x，y均为正实数，且x+2y=4，
∴m＞2且n＞1，且m-2+2（n-1）=4即m+2n=8，
换元可得$\frac{{x}^{2}}{x+2}$+$\frac{2{y}^{2}}{y+1}$=$\frac{（m-2）^{2}}{m}$+$\frac{2（n-1）^{2}}{n}$
=$\frac{{m}^{2}-4m+4}{m}$+$\frac{2{n}^{2}-4n+2}{n}$
=m+$\frac{4}{m}$-4+2n+$\frac{2}{n}$-4
=$\frac{4}{m}$+$\frac{2}{n}$=$\frac{4n+2m}{mn}$=$\frac{16}{mn}$，
由8=m+2n≥2$\sqrt{2mn}$可得mn≤8，∴$\frac{16}{mn}$≥2，
当且仅当$\frac{4}{m}$=$\frac{2}{n}$即m=2n时取等号，
结合m+2n=8可解得m=4且n=2，即x=2且y=1．
故答案为：2．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体换元是解决问题的关键，属中档题．