Question

7．已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是棱B₁C₁、C₁D₁的中点，试求：
（1）AD₁与EF所成角的大小；
（2）AF与平面BEB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以B₁为原点，B₁A₁为x轴，B₁C₁为y轴，B₁B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD₁与EF所成角的大小．
（2）求出平面BEB₁的法向量和$\overrightarrow{AF}$，利用向量法能求出AF与平面BEB₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）以B₁为原点，B₁A₁为x轴，B₁C₁为y轴，B₁B为z轴，建立空间直角坐标系，
∵位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是棱B₁C₁、C₁D₁的中点，
∴A（1，0，1），D₁（1，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{1}{2}$，1，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
设AD₁与EF所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}，\overrightarrow{EF}$＞|=|$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴AD₁与EF所成角为60°．
（2）B（0，0，1），B₁（0，0，0），
$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{1}{2}$，1，-1），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1，$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，$\frac{1}{2}$，0），
设平面BEB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{BE}_{\;}}=\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设AF与平面BEB₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}}}$|=$\frac{1}{3}$．
cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴AF与平面BEB₁所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．