Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为1，且$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c-b}{b}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，已知外接圆半径，利用正弦定理把边化角，求解出角A，根据${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$•2sinB•2sinC•sinA=$\sqrt{3}$sinB•sinC．转化为函数问题，利用三角函数的有界限求最值．

解答 解：∵外接圆半径为1，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$；
又∵$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c-b}{b}$，
∴$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{2sinC-sinB}{sinB}$
?sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA
?sinC=2sinCcosA
?cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
那么：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$•2sinB•2sinC•sinA=$\sqrt{3}$sinB•sinC．
令y=sinB•sinC．
∵$B+C=\frac{2π}{3}$，
∴y=sinB•sin（$\frac{2π}{3}-B$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB+$\frac{1}{2}$sin²B=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B-$\frac{1}{4}$cos2B$+\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{4}$
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
当2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，y取最大值为$\frac{1}{2}$．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查了正弦定理的运用和三角函数的化简以及利用三角函数的有界限求最值．属于中档题．