Question

已知函数f（x）=

1 x -1，0＜x＜1 1- 1 x ，x≥1

．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性（不必证明）；
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的解析式判断函数在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性．
（2）由题意可得，

1

a

-1=1-

1

b

，从而求得

1

a

+

1

b

的值．
（3）由题意可得1-

1

a

=ma，1-

1

b

mb，故方程1-

1

x

=mx有2个大于1的不等实数根，即mx²-x+1=0有2个大于1的不等实数根．令h（x）=mx²-x+1，则由

△=1-4m＞0 1 2m ＞1 h(1)=m＞0

求得m的范围．

解答： 解：（1）由函数f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函数为减函数；
在[1，+∞）上函数为增函数．
（2）∵当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，∴

1

a

-1=1-

1

b

，
∴

1

a

+

1

b

=2．
（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），
则函数f（x）在[a，b]上是增函数，故[a，b]⊆（1，+∞）．
可得1-

1

a

=ma，1-

1

b

mb，故方程1-

1

x

=mx有2个大于1的不等实数根，
即mx²-x+1=0有2个大于1的不等实数根．
令h（x）=mx²-x+1，则有

△=1-4m＞0 1 2m ＞1 h(1)=m＞0

，求得0＜m＜

1

4

．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．