Question

17．已知$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，x∈（0，π），则tanx=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得sinx、cosx的值，进而利用商数关系求得tanx的值．

解答 解：∵$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，x∈（0，π），
∴两边平方得2sinxcosx=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosx＜0
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，
∵sinx-cosx＞0，
∴sinx-cosx=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
与$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，联立
解得sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosx=-$\frac{1}{2}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的过程中要特别注意根据角的范围确定三角函数值的正负号．