Question

16．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

Answer 1

分析 由题意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由题意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
将渐近线方程和抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$联立，
可得$\frac{1}{4}$x²±$\frac{b}{a}$x+$\frac{1}{4}$=0，
由直线和抛物线相切的条件，可得
△=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=0，
即有a²=4b²，
解得a=2，b=1，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题．