Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若$\frac{a}{sinB}+\frac{b}{sinA}$=2c，则∠C的大小是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可得基本不等式可得sinC的范围，再由sinC的值域可得sinC的值为1，在三角形中可得．

解答 解：∵在△ABC中，$\frac{a}{sinB}+\frac{b}{sinA}$=2c，
∴由正弦定理和基本不等式可得：
2sinC=$\frac{sinA}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinA}$≥2，
当且仅当$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sinB}{sinA}$即sinA=sinB时取等号，
∴sinC≥1，由又sinC≤1，故sinC=1，
∴在三角形中∠C=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查正弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值，属中档题．