Question

1．设数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1-a_n=8×3^2n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用“累加求和”方法即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1-a_n=8×3^2n-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=8×（3^2n-3+3^2n-5+…+3¹）+3
=8×$\frac{3（{9}^{n-1}-1）}{9-1}$+3=3^2n-1．
∴a_n=3^2n-1．
（2）b_n=na_n=n×3^2n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=3+2×3³+3×3⁵+…+n×3^2n-1．
∴9S_n=3³+2×3⁵+…+（n-1）×3^2n-1+n×3²ⁿ⁺¹，
∴两式相减得-8S_n=3+3³+3⁵+…+3^2n-1-n×3²ⁿ⁺¹=$\frac{3（{9}^{n}-1）}{9-1}$-n×3²ⁿ⁺¹=$\frac{（1-8n）×{3}^{2n+1}-3}{8}$，
∴S_n=$\frac{（8n-1）×{3}^{2n+1}+3}{64}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．