Question

4．已知函数f（x）=x²-x-$\frac{4x}{x-1}$（x＜0），g（x）=x²+bx-2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范围为（　　）

• A． （-4$\sqrt{2}$-5，+∞）
• B． （4$\sqrt{2}$-5，+∞）
• C． （-4$\sqrt{2}$-5，1）
• D． （4$\sqrt{2}$-5，1）

Answer 1

分析 根据题意条件等价为f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：由题意知，方程f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解，
即x²+x-$\frac{4x}{x+1}$=x²+bx-2，
则b=+1-$\frac{4}{x+1}$
则b＜1，
又b=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$，
设h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$，
则h′（x）=$\frac{（2x-1）（{x}^{2}+x）-（{x}^{2}-x+2）（2x+1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$=$\frac{2（{x}^{2}-2x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$，
由h′（x）=0得x²-2x-1=0得x=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$（舍），
当0＜x＜1+$\sqrt{2}$时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，
当x＞1+$\sqrt{2}$时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，
则当x=1+$\sqrt{2}$时，h（x）取得极小值，
此时h（1+$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{1+\sqrt{2}}$+1-$\frac{4}{1+\sqrt{2}+1}$=2（$\sqrt{2}$-1）+1-$\frac{4}{2+\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2+1-$\frac{4（2-\sqrt{2}）}{4-2}$=2$\sqrt{2}$-2+1-2（2-$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-5，
∴要使则b=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{4}{x+1}$在（0，+∞）上有两个不同的交点，
则4$\sqrt{2}$-5＜b＜1，
即a的取值范围是（4$\sqrt{2}$-5，1）
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，考查函数图象的对称变换，函数交点个数及位置的判定，根据条件转化为f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解是解决本题的关键．，综合性强，难度较大．