Question

6．A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|=4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，设出点的坐标，线段BC的中点，AC的中点，由$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{QM}$，可得结论．

解答 解：（1）建立如图所示的直角坐标系
设A（0，3），B（x₀-2，0），C（x₀+2，0），外心M（x，y）
则线段BC的中点P（x₀，0），AC的中点Q（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴$\overrightarrow{BC}$=（4，0），$\overrightarrow{AC}$=（x₀+2，-3），$\overrightarrow{PM}$=（x-x₀，y），
$\overrightarrow{QM}$=（x-$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，y-$\frac{3}{2}$），
由$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{QM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-{x}_{0}）=0}\\{（{x}_{0}+2）（x-\frac{{x}_{0}+2}{2}）+（-3）（y-\frac{3}{2}）=0}\end{array}\right.$
消去x₀可得：x²=6y-5．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．