Question

16．已知直线l：y=-x+1与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0））相交于不同的两点A、B，且线段AB的中点P的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
（1）求椭圆C离心率；
（2）设O为坐标原点，且2|OP|=|AB|，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（2）运用韦达定理和弦长公式，以及两点的距离公式，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）将直线y=1-x代入椭圆方程，可得
（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
则x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由AB的中点P的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），可得
$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，即为a²=2b²，
可得c²=a²-b²=$\frac{1}{2}$a²，
则椭圆C离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）可得，
△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
可得a²+b²＞1，即b²＞$\frac{1}{3}$，
x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2-2{b}^{2}}{3}$，
由2|OP|=|AB|，可得：
2$\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}$=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4（2-2{b}^{2}）}{3}}$，
解得b²=$\frac{3}{4}$（满足△＞0），即有a²=$\frac{3}{2}$，
可得椭圆方程为$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查椭圆方程的求法，注意运用韦达定理和弦长公式，两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．