Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．

(1)求证：DF⊥AP.

(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

[证明]　(1)取AB的中点E，则PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.

由于DE²＝EF²＋DF²，故DF⊥EF，

又EF∥PA，∴DF⊥PA.

(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．

取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.

∵F为PB中点，

∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，

∴FO⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴FO⊥BC.

∵G为AD中点，O为正方形ABCD中心，∴GO⊥BC，

又GO∩FO＝0，∴BC⊥平面GOF，∴GF⊥BC.

∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，

∴GF⊥平面PBC.