题目内容


如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.


[解析]　(1)取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO，

又O为BD的中点，

所以BE＝DE.

(2)取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE.

又MN平面BEC，BE平面BEC，

所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC.

又DN平面BEC，BC平面BEC，

所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC，

又DM平面DMN，

所以DM∥平面BEC.

练习册系列答案
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如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．

(1)求证：DF⊥AP.

(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是(　　)

A．①②                                                        B．③④

C．②③                                                        D．①③

过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．

设l是直线，α，β是两个不同的平面(　　)

A．若l∥α，l∥β，则α∥β                            B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β                            D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.

(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；

(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离．

某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

若平面α、β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)

A．α∥β                                                         B．α⊥β

C．α、β相交但不垂直                                  D．以上均不正确

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