Question

如图，在多面体ABC－A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC＝AB＝1，A₁C＝A₁B，B₁C₁∥BC，B₁C₁＝BC.

(1)求证：平面A₁AC⊥平面ABC；

(2)求证：AB₁∥平面A₁C₁C.

Answer 1

[证明]　(1)∵四边形ABB₁A₁为正方形，

∴A₁A＝AB＝AC＝1，A₁A⊥AB.

∴A₁B＝.

∵A₁C＝A₁B，∴A₁C＝，

∴∠A₁AC＝90°，∴A₁A⊥AC.

∵AB∩AC＝A，∴A₁A⊥平面ABC.

又∵A₁A⊂平面A₁AC，

∴平面A₁AC⊥平面ABC.

(2)取BC的中点E，连接AE，C₁E，B₁E.

∵B₁C₁∥BC，B₁C₁＝BC，

∴B₁C₁∥EC，B₁C₁＝EC，

∴四边形CEB₁C₁为平行四边形．∴B₁E∥C₁C.

∵C₁C⊂平面A₁C₁C，B₁E⊄平面A₁C₁C，

∴B₁E∥平面A₁C₁C.

∵B₁C₁∥BC，B₁C₁＝BC，

∴B₁C₁∥BE，B₁C₁＝BE，

∴四边形BB₁C₁E为平行四边形，

∴B₁B∥C₁E，且B₁B＝C₁E.

又∵四边形ABB₁A₁是正方形，

∴A₁A∥C₁E，且A₁A＝C₁E，

∴四边形AEC₁A₁为平行四边形，∴AE∥A₁C₁.

∵A₁C₁⊂平面A₁C₁C，AE⊄平面A₁C₁C，

∴AE∥平面A₁C₁C.

∵AE∩B₁E＝E，∴平面B₁AE∥平面A₁C₁C.

∵AB₁⊂平面B₁AE，∴AB₁∥平面A₁C₁C.