题目内容

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（　　）
A．6B．5C．4D．3

分析 由题意方程求得椭圆的半焦距，结合椭圆定义求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，则|AF2|+|BF2|=8-|AB|，再求出当AB垂直于x轴时的最小值，则|AF2|+|BF2|的最大值可求．

解答 解：由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1焦点在x轴上，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
由椭圆的定义可知：|AF2|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，则|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，
|AF2|+|BF2|=8-|AB|，
∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，
当x=-c=-1，$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得：y=±$\frac{3}{2}$，
∴|AB|min=3，
∴|AF2|+|BF2|的最大值为8-3=5．

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆通径的求法，考查计算能力，属于基础题．

练习册系列答案
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