题目内容
1．已知定义在R上的两函数f（x）=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$（其中π为圆周率，π=3.1415926…），有下列命题：①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；
②f（x）是R上的增函数，g（x）是R上的减函数；
③f（x）无最大值、最小值，g（x）有最小值，无最大值；
④对任意x∈R，都有f（2x）=2f（x）g（x）；
⑤f（x）有零点，g（x）无零点．
其中正确的命题有①③④⑤（把所有正确命题的序号都填上）
分析 可求得f（x）+f（-x）=0，g（x）-g（-x）=0，故①正确；
易知g（x）R上不可能是减函数，故②不正确；
可判断f（x）在R上单调递增，g（x）左减右增；从而判断；
化简f（2x）=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，2f（x）g（x）=2•$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$•$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，故④成立；
易知f（0）=0，g（x）≥g（0）=1，故⑤正确．
解答 解：∵f（x）+f（-x）=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$+$\frac{{π}^{-x}-{π}^{x}}{2}$=0，
g（x）-g（-x）=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$-$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=0，
∴f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，故①正确；
∵g（x）是偶函数，
∴g（x）R上不可能是减函数，故②不正确；
可判断f（x）在R上单调递增，g（x）左减右增；
故f（x）无最大值、最小值，g（x）有最小值，无最大值，
故③正确；
f（2x）=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，
2f（x）g（x）=2•$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$•$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，
故④成立；
∵f（0）=0，∴f（x）有零点，
∵g（x）≥g（0）=1，∴g（x）没有零点；
故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．
挑战100单元检测试卷系列答案
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（ ）| A． | 函数f（x）的最小正周期为8 | |
| B． | f（3）=-$\frac{1}{2}$ | |
| C． | x=-1是函数f（x）的一条对称轴 | |
| D． | 函数f（x）向左平移一个单位长度后所得的函数为偶函数 |
| A． | a＜b＜c | B． | b＜c＜a | C． | b＜a＜c | D． | c＜b＜a |
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，且E是BC的中点，D是AC1中点．