Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2）且a₁=1，b_n=log₂（a_2n+1+1），cn=

1

b 2 n -1

．求证：
（Ⅰ）数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c_n}的前n项和Sn＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）把已知的等式a_n=2a_n-1+1变形，得到a_n+1=2（a_n-1+1），同时求出当n=2时得到a₂+1=2（a₁+1），将a₁的值代入求出a₂+1的值，确定出数列{a_n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，表示出等比数列的通项公式，可得出a_n的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{c_n}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
令n=2得：a₂+1=2（a₁+1），又a₁=1，
∴a₂+1=4，a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，
则通项公式为a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₂（a_2n+1+1）=2n+1，cn=

1

b 2 n -1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
所以S_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

．   …（12分）

点评：此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的确定，考查裂项法求和，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．