Question

13．已知命题p：方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件先求出命题成立的等价条件，根据p，q只有一个为真，建立不等式关系即可．

解答 解：若方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，
即$\frac{{x}^{2}}{2m}$+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-m＞0}\\{2m＞0}\\{1-m＞2m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m＞0}\\{m＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，得0＜m＜$\frac{1}{3}$，即p：0＜m＜$\frac{1}{3}$，
∵双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率e∈（1，2），
∴a²=5，b²=m＞0，c²=5+m，
∵e∈（1，2），
∴e²∈（1，4），
即1＜$\frac{5+m}{5}$＜4，
得0＜m＜15，
即q：0＜m＜15
∵p，q只有一个为真，
∴若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜\frac{1}{3}}\\{m≥15或m≤0}\end{array}\right.$，此时无解
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{3}或m≤0}\\{0＜m＜15}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{3}≤m＜15$，
综上$\frac{1}{3}≤m＜15$．

点评 本题主要考查复合命题的真假应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．