Question

9．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+c²-b²=ac，${\overrightarrow{CA}^{\;}}{•^{\;}}\overrightarrow{AB}＞0$，$b=\sqrt{3}$，则a+c的取值范围是（　　）

• A． （2，3）
• B． $（\sqrt{3}，3）$
• C． （1，3）
• D． （1，3]

Answer 1

分析 根据a²+c²-b²=ac，代入到余弦定理中求得cosB的值，进而求得B，再确定a=2RsinA=2sinA，c=2RsinC=2sinC，结合A的范围，代入利用辅助角公式，即可得出结论

解答 解：∵a²+c²-b²=ac，b=$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B是三角形内角，∴B=60°，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵${\overrightarrow{CA}^{\;}}{•^{\;}}\overrightarrow{AB}＞0$，∴cosA＜0，∴A为钝角．
由正弦定理可得a=$\frac{b}{sinB}$•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$•sinA=2sinA，
同理c=$\frac{b}{sinB}•sinC$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$•sinC=2sinC．
三角形ABC中，B=60°，∴A+C=120°．
a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin（120°-A）=3sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵90°＜A＜120°，∴120°＜A+30°＜150°，
∴sin（A+30°）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴2$\sqrt{3}$sin（A+30°）∈（$\sqrt{3}$，3），
∴a+c的取值范围为：（$\sqrt{3}$，3）．
故选：B．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，考查三角函数的性质，考查计算能力，注意余弦定理的变形式的应用是关键，属于中档题．