Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，$cosC=-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）如果b=3，求c的值；
（Ⅱ）如果$c=2\sqrt{6}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，能求出c的值．
（Ⅱ）法一：由$cosC=-\frac{1}{4}$，求出sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．由正弦定理求出sinA，进而求出cosA，由A+B+C=π，得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由此能求出结果．
法二：由$cosC=-\frac{1}{4}$，求出sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．由余弦定理求出b=4，再由正弦定理能求出sinB的值．

解答 （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，…（3分）
得${c^2}=4+9-2×2×3×（-\frac{1}{4}）=16$，
解得c=4．…（5分）
（Ⅱ）解：（方法一）由$cosC=-\frac{1}{4}$，C∈（0，π），得$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．…（7分）
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得$sinA=\frac{asinC}{c}=\frac{{\sqrt{10}}}{8}$．…（10分）
所以$cosA=\sqrt{1-{{sin}^2}A}=\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$．
因为A+B+C=π，
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC…（12分）
=$\frac{{\sqrt{10}}}{8}×（-\frac{1}{4}）+\frac{{3\sqrt{6}}}{8}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{4}$．…（13分）
（方法二）由$cosC=-\frac{1}{4}$，C∈（0，π），得$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．…（7分）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得$24=4+{b^2}-2×2×b×（-\frac{1}{4}）$，
解得b=4，或b=-5（舍）．…（10分）
由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得$sinB=\frac{bsinC}{c}=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$．…（13分）

点评 本题考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．