Question

10．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．

广告投入x/万元	1	2	3	4	5
销售收益y/万元	2	3	2	5	7

（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：表中的数据显示x与y之间存在线性相关关系，求y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若广告投入6万元时，实际销售收益为7.3万元，求残差$\hat e$．
附：${\;}_{b}^{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）{（y}_{i}{-}_{y}^{-}）}{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}y}_{i}-{{n}_{x}^{-}}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用频率和为1列方程求出a的值；
（Ⅱ）计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；
（Ⅲ）计算x=6时销售收益预测值，再求出残差值．

解答 解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为a，由频率直方图各小长方形的面积总和为1，
可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）•a=0.5a=1，
解得a=2；…（2分）
（Ⅱ）由题意，可知
$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3，\overline{y}=\frac{2+3+2+5+7}{5}=3.8$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=1×2+2}×3+3×2+4×5+5×7=69，\sum_{i=1}^5{x_i^2={1^2}+{2^2}}+{3^2}+{4^2}+{5^2}=55$，…（5分）
根据公式，可求得$\hat b=\frac{69-5×3×3.8}{{55-5×{3^2}}}=\frac{12}{10}=1.2，\hat a=3.8-1.2×3=0.2$，
所以y关于x的回归方程为$\hat y=1.2x+0.2$；…（8分）
（Ⅲ）当x=6时，销售收益预测值为$\hat y=1.2×6+0.2=7.4$（万元），
又实际销售收益为7.3万元，
所以残差$\hat e=7.3-7.4=-0.1$．…（12分）

点评 本题可惜了频率分布直方图与线性回归方程和残差的计算问题，是综合题．