Question

11．凸边形的性质：如果函数f（x）在区间D上的是凸变形，则对于区间D内的任意n个自变量x₁，x₂，…，x_n，有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}}{n}≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}）$，当且仅当x₁=x₂=…=x_n时等号成立，已知函数y=sinx上是凸函数，
则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 已知f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，利用凸函数的性质可得，有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}}{n}≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}）$，变形得 sinA+sinB+sinC≤3sin$\frac{π}{3}$问题得到解决．

解答 解：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），
∴$\frac{sinA+sinB+sinC}{3}$≤sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA+sinB+sinC≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，当且仅当A=B=C=$\frac{π}{3}$时，等号成立，
∴△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查新定义，凸函数的性质应用，属于中档题．