Question

16．如图所示，某中学兴趣小组设计的自动小车按下面程序运行：
①由点A出发到达点B或C或D，到达点B，C，D之一就停止；
②每次只向右或向下按路线运行；
③在每个路口向下的概率为$\frac{1}{3}$；
④到达点P时只向下，到达点Q时只向右；
（1）求小车从点A出发经过点M到达点B的概率以及小车从点A出发经过点N到达点C的概率；
（2）若小车到达点B，C，D时，随机变量X分别记为1，2，3，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意得出向下的概率和向右概率，从A过M到B，有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，求得概率值，同理可求海宝过点从A经过N到点C的概率；
（2）求出X=1，2，3时相应的概率，从而可求随机变量X的分布列及期望．

解答 解：（1）由题意，向下概率为$\frac{1}{3}$，则向右概率为1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$；
从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，
其概率为${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{81}$；
从A过N到C，概率为${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$；
（2）P（X=1）=（$\frac{1}{3}$）³+${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{3}$）²•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{27}$；
P（X=2）=${C}_{4}^{2}$•（$\frac{1}{3}$）²•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$；
P（X=3）=（$\frac{2}{3}$）³+${C}_{3}^{2}$•（$\frac{2}{3}$）²•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{27}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{16}{27}$

数学期望为E（X）=1×$\frac{3}{27}$+2×$\frac{8}{27}$+3×$\frac{16}{27}$=$\frac{67}{27}$．

点评 本题考查了等可能事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．