Question

已知函数y=lnx的图象上三点A，B，C的横坐标依次为m，m+1，m+2，记△ABC的面积为S=f（m）．
（1）求函数S=f（m）的解析式；
（2）判断并证明函数S=f（m）的单调性．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数单调性的判断与证明,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）过A，B，C，分别作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x轴，垂足为A₁，B₁，C₁，则S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁C-S梯形AA₁C₁C，进而得出函数f（t）的表达式．
（2）由（1）中得f（ m），先根据 v＞1，推断v=t²+4t为增函数，进而推断函数f（t）为减函数．

解答： 解：（1）过A，B，C，分别作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x轴，垂足为A₁，B₁，C₁，
则S=f（m）=S_{梯形ABB′A′}+S_{梯形CC′BB′}-S_{梯形ACC′A′}=

1

2

[lnm+lm（m+1）]×1+

1

2

[ln（m+1）+ln（m+2）]×1-

1

2

[lnm+ln（m+2）]×2．
即f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)．
（2）f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)，在（0，+∞）上是减函数．
证明：∵v=m²+2m在[-1，+∞）上是增函数，
∴m＞0时，m²+2m是增函数，

1

m2+2m

是减函数．
所以复合函数f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)，在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查了函数单调性的应用．常涉及利用单调性求函数的值域和最值等问题．