Question

已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，都有∠POQ=

π

2

．若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得抛物线C的焦点F（4，0），由此能求出抛物线方程．
（2）设点M（a，0），过点M的动直线为y=k（x-a），联立

y2=16x y=k(x-a)

⇒k2x2-2(ak2+8)x+a2k2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出M点坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点重合，
∴抛物线C的焦点F（4，0），
∴抛物线方程：y²=16x…（4分）
（2）设点M（a，0）（a≠0）满足题设，…（5分）
设过点M的动直线为y=k（x-a），
则联立

y2=16x y=k(x-a)

⇒k2x2-2(ak2+8)x+a2k2=0，
则x1+x2=

2(ak2+8)

k2

，x1x2=a2，…（7分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由∠POQ=

π

2

，
得x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
从而x1x2+k2(x1-a)(x2-a)=0⇒a2-16a=0⇒a=16； …（10分）
若PQ的方程为x=a，则将代入抛物线方程，得y=±4

a

，
当∠POQ=

π

2

时，a=4

a

即a=16，…（11分）
所以存在满足条件的点M（16，0）．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、抛物线、向量等知识点的合理运用．