Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线y=x与抛物线C交于A、B两点，且线段AB的中点为M（2，2）．
（1）求p的值；
（2）设E、F两点是抛物线C上异于原点O的两个不同点，直线OE和直线OF的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明：直线EF恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）联立

y2=2px，p＞0 y=x

，得x²-2px=0，由此利用韦达定理和中点坐标公式能求出p=2．
（2）设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），直线AB的方程为y=kx+b，将y=kx+b与y²=4x联立，得ky²-4y+4b=0，由韦达定理知y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=

4b

k

．由此能推导出当θ=

π

2

时，直线AB恒过定点（-4，0）；当θ≠

π

2

时，直线AB恒过定点（-4，

4

tanθ

）．

解答： （1）解：联立

y2=2px，p＞0 y=x

，得x²-2px=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2p，
∵线段AB的中点为M（2，2），
∴

x1+x2

2

=p=2．
∴p=2．
（2）证明：设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），
由题意得x₃≠x₄（否则α+β=π）且x₃，x₄≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
则x3=

y32

4

，x4=

y42

4

，
将y=kx+b与y²=4x联立消去x，得ky²-4y+4b=0，
由韦达定理知y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=

4b

k

，①
当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，tanα•tanβ=1，
所以

y3

x3

•

y4

x4

=1，x₃x₄-y₃y₄=0，

y32y42

16

-y3y4=0，
所以y₃y₄=16，
由①知：

4b

k

=16，所以b=4k，
因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，即k（x+4）-y=0，
所以直线AB恒过定点（-4，0）；
当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
将①式代入上式整理化简可得：tanθ=

4

b-4k

，
所以b=

4

tanθ

+4k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

4

tanθ

+4k，
即k（x+4）-（y-

4

tanθ

）=0，
所以直线AB恒过定点（-4，

4

tanθ

）；
综上所述：当θ=

π

2

时，直线AB恒过定点（-4，0）；
当θ≠

π

2

时，直线AB恒过定点（-4，

4

tanθ

）．

点评：本题考查抛物线中系数p的求法，考查直线EF恒过定点的证明，并求出该定点的坐标，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．