Question

（本小题满分13分）设函数，其中为正整数.
（Ⅰ）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)函数在上单调递增(Ⅱ)略 （Ⅲ）的最大值为，最小值为.

：（1）在上均为单调递增的函数. 1分
对于函数，设 ，则
，
，
函数在上单调递增.  3分
（2） 原式左边  

.… 5分
又原式右边.
 .    6分
（3）当时，函数在上单调递增，
 的最大值为，最小值为.
当时，， 函数的最大、最小值均为1.
当时，函数在上为单调递增.
 的最大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
 的最大值为，最小值为.  … 9分
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，对任意且
 ，
以及 ，
 ，从而 .
 在上为单调递增，则
的最大值为，最小值为.                    …… 11分
当为偶数时，一方面有 .
另一方面，由于对任意正整数，有
，
.
 函数的最大值为，最小值为.     
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.
当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 13分