Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，a₃+a₅=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出．
（2）利用裂项求和、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}等差数列，
由S₉=9a₅=81，得a₅=9．
又由a₃+a₅=14，得a₃=5．
由上可得等差数列{a_n}的公差d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-1．
（2）证明：由${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{（{2n-1}）}}-\frac{1}{{（{2n+1}）}}}）$．
得${T_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、裂项求和、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．