Question

18．函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最小值为-1．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx，由三角函数个数可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，平方可得sinxcosx=$\frac{1}{2}$（t²-1），换元后由二次函数区间的最值可得．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
平方可得t²=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=$\frac{1}{2}$（t²-1），
换元可得y=t+$\frac{1}{2}$（t²-1）=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
由二次函数可知当t=-1时，函数取最小值-1
故答案为：-1

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数和二次函数区间的最值，属中档题．