Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+4x-a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）（文）若f（x）=e^x-ex-2m为定义域R上的“局部奇函数”，求证：若x＞1，则e^x＞x²-2mx+1．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．

解答： 解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）+f（-x）=0有解．
（1）当f（x）=ax²+4x-a（a∈R）时，
方程f（x）+f（-x）=0即2a（x²-1）=0有解x=±1，所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（5分）
令t=2x∈[

1

2

，2]，则-2m=t+

1

t

．
设g（t）=t+

1

t

，则g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．       …（7分）
所以t∈[

1

2

，2]时，g（t）∈[2，

5

2

]．
所以-2m∈[2，

5

2

]，即m∈[-

5

4

，-1]．                          …（9分）
（文）f（x）=e^x-ex-2m为定义域R上的“局部奇函数”，
f（x）+f（-x）=0可化为m=

ex+e-x

4

≥

2 exe-x

4

=

1

2

（x=0时等号成立），即m≥

1

2

．
设g（x）=e^x-x²+2mx-1（x＞1），由g'（x）=e^x-2x+2m≥e^x-2x+1，
显然，由图象知，x＞1时e^x-2x+1＞0成立，所以g'（x）≥e^x-2x+1＞0，
函数g（x）=e^x-x²+2mx-1在（1，+∞）上递增，则g(x)＞g(1)=e+2m-2≥e+2×

1

2

-2＞0．
即e^x＞x²-2mx+1成立．

点评：本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．