Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，ac=3，S_△ABC=

3 3

4

．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=

2

，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角形面积公式列出关系式，将ac，已知面积代入求出sinB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将cosB的值，b，ac的值代入求出a+c的值，即可确定三角形ABC周长．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

，ac=3，
∴sinB=

3

2

，
∵B为三角形内角，
∴B=

π

3

或

2π

3

；
（Ⅱ）当B=

π

3

，b=

2

，ac=3时，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accos

π

3

=（a+c）²-3ac，
即2=（a+c）²-9，
解得：a+c=

11

，
此时△ABC周长为a+b+c=

11

+

2

；
当B=

2π

3

时，b=

2

，ac=3，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accos

2π

3

=a²+c²+ac，
即2=a²+c²+3，
∴a²+c²=-1（舍去），
综上，△ABC周长为

11

+

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．