Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（

3

，

1

2

），以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，问丨OR丨•丨OS丨是否为定值？若是请求出定值，不是则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意，得a=2，根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（

3

，

1

2

），求出b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），设y₁＞0．由于点M在椭圆C上，故y12=1-

x12

4

．由T（-2，0），知

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=

5

4

（x₁+

8

5

）²-

1

5

，由此能求出圆T的方程．
（3）设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），令y=0，得x_R=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理：x_S=

x1y0+x0y1

y0+y1

，故x_Rx_S=

x12y02-x02y12

y02-y12

，由此能够证明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．

解答： 解：（1）依题意，得a=2，
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（

3

，

1

2

），
∴

3

4

+

1 4

b2

=1，
∴b=1，
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）点M与点N关于x轴对称，
设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，所以y12=1-

x12

4

．     （*）
由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y₁²
=

5

4

x₁²+4x₁+3=

5

4

（x₁+

8

5

）²-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故当x₁=

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

．
（3）设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），
令y=0，得x_R=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理：x_S=

x1y0+x0y1

y0+y1

，
故x_Rx_S=

x12y02-x02y12

y02-y12

    （**）
又点M与点P在椭圆上，故x₀²=4（1-y₀²），x₁²=4（1-y₁²），
代入（**）式，得：x_Rx_S=4．
∴OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．

点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．