Question

己知函数f(x)=-

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x3+2ax2-3a2x(a∈R且a≠0)．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在（-2，m）处的切线方程：
（Ⅱ）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出切点坐标，切线斜率，可得曲线y=f（x）在（-2，m）处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而可得函数的极值；
（Ⅲ）求出f′（x）在区间[2a，2a+2]上的最大值与最小值，利用当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，可得

a2≤3a a2-4≥-3a

，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，∵函数f(x)=-

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x3+2ax2-3a2x(a∈R且a≠0)，
∴f′（x）=-x²-4x-3，
∴f′（2）=1，m=f（2）=

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，
∴曲线y=f（x）在（-2，m）处的切线方程：y-

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=x-2，即3x-3y+8=0；
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a），
当a＞0时，由f′（x）＞0，得a＜x＜3a；由f′（x）＜0，得x＜a或x＞3a，
∴y=f（x）的增区间为（a，3a），减区间为（-∞，a）和（3a，+∞），
∴x=3a时，函数的极大值为0，x=a时，极小值为-

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a3；
（Ⅲ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
∵f′（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减，
∴x=2a时，f′（x）_max=a²，x=2a+2时，f′（x）_min=a²-4，
∵x∈[2a，2a+2]时，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，
∴

a2≤3a a2-4≥-3a

，
∴1≤a≤3，
∴a的取值范围为[1，3]．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数是几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．