Question

17．如图，四棱锥S-ABCD中，SA=SD=BC，底面ABCD为正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，SC的中点．
（1）若R为CD中点，分别连接MR，RN，NM，求证：BC∥平面MNR；
（2）求二面角S-CM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形MBCR是平行四边形，从而RC∥MB，由此能证明BC∥平面MNR．
（2）取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA、OG、OS为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S-CM-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DC，AB=DC，
∵M，N分别是AB，DC的中点，
∴RC∥MB，RC=MB，
∴四边形MBCR是平行四边形，
∴RC∥MB，
∵BC?平面MNR，MB?平面MNR，
∴BC∥平面MNR．
解：（2）取AD的中点O，连结OS，
过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA、OG、OS为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2，
则C（-1，2，0），M（1，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{SM}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），
设平面SCM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SM}=x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，$\sqrt{3}$），
平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角S-CM-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角S-CM-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．