Question

2．已知曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C上的点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）对应的参数α=$\frac{π}{4}$，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由椭圆参数方程可得$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{4}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}=bsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化为极坐标方程．
（II）写出直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|•|PB|=-t₁t₂，进而得出．

解答 解：（I）由椭圆参数方程可得$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{4}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}=bsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，其直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可得ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（II）点P的极坐标是（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$）化为直角坐标为（0，$\sqrt{2}$），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosθ}\\{y=\sqrt{2}+tsinθ}\end{array}\right.\\;（t为参数）$，代入曲线C的方程可得：（1+sin²θ）t²+4$\sqrt{2}$sinθt+2=0，
∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$∈[1，2]

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．