Question

已知两定点F₁(－，0)，F₂(，0)，满足条件|PF₂|－|PF₁|＝2的点P的轨迹是曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设过点（0，-1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|＝6，求直线AB的方程．

 

Answer 1

（1）解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁(－，0)，F₂(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，故曲线E的方程为x²－y²＝1(x<0)．

（2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由题意建立方程组

消去y，得(1－k²)x²＋2kx－2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

解得－<k<－1.

又∵|AB|＝·|x₁－x₂|＝·

＝·＝2，

依题意得2＝6，整理后得28k⁴－55k²＋25＝0，

∴k²＝或k²＝，又－<k<－1，∴k＝－，故直线AB的方程为x＋y＋1＝0.