Question

14．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1表示的曲线是焦点在x轴的双曲线；命题q：关于m的不等式m²-（2a+1）m+a（a+1）≤0成立．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由p∧q为真，可得p真且q真，P真：则设A={m|$\left\{{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{m-1＜0}\end{array}}\right.$}，q真：B={m|m²-（2a+1）m+a（a+1）≤0}={m|a≤m≤a+1}，由$a=\frac{1}{2}$，可得B，即可得出A∩B．
（2）由（1）知设A={m|$\frac{1}{2}＜m＜1$}，B={a≤m≤a+1}，由p是q的充分不必要条件，可得A是B的真子集，即可得出．

解答 解：（1）∵p∧q为真，∴p真且q真         …（1分）
P真：则设A={m|$\left\{{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{m-1＜0}\end{array}}\right.$}=$\{m|\frac{1}{2}＜m＜1\}$，…（2分）
q真：B={m|m²-（2a+1）m+a（a+1）≤0}={m|a≤m≤a+1}…（3分）
∵$a=\frac{1}{2}$，∴B=$\{m|\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}\}$…（4分）
∴A∩B=$\{m|\frac{1}{2}＜m＜1\}$
∴实数m的取值范围为：$\{m|\frac{1}{2}＜m＜1\}$…（6分）
（2）由（1）知设A={m|$\frac{1}{2}＜m＜1$}，B={a≤m≤a+1}…（8分）
∵p是q的充分不必要条件，∴A是B的真子集
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a+1≥1}\end{array}}\right.$…（10分）
解得$0≤a≤\frac{1}{2}$，…（11分）
∴实数a的取值范围为：$\{a|0≤a≤\frac{1}{2}\}$．…（12分）

点评 本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．